设D是R的一个非空子集，y=f(x)是定义在D上的函数.对于点M(a,b)，记s(x)=(x-a)²+(f(x)-b)².若对于点P(x₀,f(x₀))，函数y=s(x)在x=x₀处取得最小值，则称P是M的f最近点. (1)对于f(x)=(1)/(x)，M(0,0)，D=(0,+∞)，求证：存在M的f最近点；(2)对于f(x)=e^x，M(1,0)，D=R，若曲线y=f(x)上一点P满足MP垂直于y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处的切线，则P是否为M的f最近点？(3)已知D=R，y=f(x)的导函数为y=f'(x)，且y=g(x)在R上的函数值恒正.对任意t∈R，点M₁的坐标为(t-1,f(t)-g(t))，点M₂的坐标为(t+1,f(t)+g(t)).若对任意的t∈R，总存在y=f(x)上一点P，使得P既是M₁的f最近点，又是M₂的f最近点，试求y=f(x)的单调性.